Arc-en-ciel

POURQUOI UN ARC-EN-CIEL ?

Pour observer un arc-en-ciel, il faut tourner le dos au Soleil et regarder dans une zone où il pleut. Le phénomène est produit par la réfraction dans les gouttes d'eau, de la lumière blanche émise par le Soleil.
Que se passe-t-il dans une goutte ?
Les gouttes sont sphériques. Quand un rayon lumineux pénètre dans la goutte, il subit une réfraction puis une réflexion à l'arrière de la goutte, puis une seconde réfraction avant de sortir.
Le schéma ci-dessous montre le trajet suivi par un rayon lumineux rouge sur une coupe d'une goutte d'eau.

A chaque réfraction ou réflexion, le rayon subit une déviation. Il est possible de calculer la déviation totale D.

D = D1 + D2 + D3
avec D1 = i-r ; D2 = P - 2r ; D3 = i-r
donc D = P + 2i - 4r
l'angle A que font les droites support des rayons entrant et sortant de la goutte est donné par :
A = P - D = 4r-2i
La courbe ci-dessous donne les valeurs de A pour les valeurs de i entre 0° et 90° pour une lumière rouge (l'indice de réfraction étant n = 1,33.
On constate que la valeur de A passe par un maximum de 42,5°. On remarque également que pour toutes les valeurs de i comprises entre 49° et 68° l'angle A varie de 40,0° à 42,5°. Le schéma ci-dessous montre le trajet de la lumière entrant dans une demi goutte.

Il y a donc accumulation de lumière (rouge dans ce cas) autour de 42°. Du fait de la symétrie autour de l'axe de la goutte, on peut dire que celle-ci, recevant de la lumière rouge, va la renvoyer suivant un cône de demi angle au sommet 42,5°. Les autres rayons se dispersant à l'intérieur du cône.
Les mêmes calcul et raisonnement peuvent être faits pour un rayon violet (indice de réfraction pour l'eau 1,34). Dans ce cas A = 41,1°. La goutte va donc renvoyer la lumière suivant un cône d'angle au sommet plus petit.

Le schéma ci-dessous montre une coupe par un plan passant par une goutte (représentée ici par un point).

Si l'œil est placé en A, l'observateur verra du bleu, s'il est placé en B, il verra du rouge.
Lors de l'observation d'un arc-en-ciel, l'œil de l'observateur ne se déplace pas, les couleurs observées proviennent de gouttes différentes.
Le schéma suivant est réalisé dans un plan vertical contenant le Soleil et l'œil.

L'œil reçoit de la lumière rouge des gouttes situées dans la direction de G1 et du bleu de celles situées dans la direction de G2. Les gouttes donnant du rouge sont situées à 42,5° au-dessus de la ligne Soleil-œil. Toutes les gouttes se trouvant dans une direction faisant un tel angle avec la droite passant par le Soleil et l'œil, enverront du rouge vers l'œil. On obtient donc un cercle rouge, il en est de même pour les autres couleurs, mais avec des angles de plus en plus petits(de 42,5° à 41,0°). On voit un arc, car le reste du cercle est coupé par le sol (horizon).
Dans le cas où le rayon lumineux se réfléchit deux fois à l'intérieur de la goutte, on obtient le schéma ci-dessous.

La déviation D du rayon sortant de la goutte par rapport au rayon incident est donnée par la relation :

D = D1 + D2 + D3 + D4
avec D1 = i-r ; D2 = P - 2r ; D3 = P - 2r ; D4 = i-r
donc D = 2P + 2i - 6r
l'angle A que font les droites support des rayons entrant et sortant de la goutte est donné par :
A = D - P = P + 2i - 6r
Un calcul montre que pour une lumière rouge, la valeur de A passe par un minimum de 51° et il y a donc accumulation de lumière au voisinage de cette valeur. Pour le bleu, le minimum a pour valeur 53°.
Chaque goutte va donc renvoyer comme précédemment la lumière suivant de cônes d'angles au sommet plus grands que pour l'ordre 1, mais maintenant avec le bleu à l'extérieur de l'arc et le rouge à l'intérieur.
Il est maintenant possible de répondre aux différentes questions.
Dans le cas d'un arc d'ordre 1, le rouge est à l'extérieur de l'arc et le bleu à l'intérieur et pour le second arc c'est l'inverse.
Du fait que les angle appelés A dans le texte sont plus grands pour le second arc, celui-ci se trouvera à l'extérieur du premier.
On ne peut observer un arc-en-ciel que si la hauteur du Soleil (angle par rapport à l'horizon) est inférieure à 42°. En effet, dans le cas contraire, les couleurs renvoyées par les gouttes n'atteindraient pas le sol.

Il n'existe pas des arcs-en-ciel avec de grands et de petits rayons. Du fait qu'il y a alignement du Soleil, de l'œil et du centre de l'arc, l'arc-en-ciel d'ordre 1 est toujours situé à 42° (pour le rouge) autour de cet axe et le second à 51°.
Les arcs d'ordre 1 ont tous le même rayon de courbure, simplement la hauteur du Soleil fait que l'on en voit qu'une partie. Lorsque le Soleil est à l'horizon on peut voir un demi cercle.
Le cerveau joue également un rôle, en effet, l'observation des arcs de cercles suivants ne montre pas qu'ils ont même rayon de courbure.
Remarques
Si l'indice de réfraction augmente, la déviation A diminue, on verra l'arc sous un angle plus petit. C'est le cas avec l'eau de mer. Sur la partie gauche de l'image suivante, l'arc est dû à de l'eau de pluie, sur la partie droite, il est dû à de l'eau de mer projetée par des souffleurs (trous dans les rochers).


© image de Anne-Marie Louis (CLEA)
On voit en général un arc et non un cercle complet car le sol empêche la chute des gouttes. En étant placé au sommet d'une montagne, ou en avion, il est possible de voir un cercle complet.